Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+4x+c（a≠0）經過點A（﹣1，0），點E（4，5），與y軸交于點B，連接AB．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）將△ABO繞點O旋轉，點B的對應點為點F．

①當點F落在直線AE上時，求點F的坐標和△ABF的面積；

②當點F到直線AE的距離為時，過點F作直線AE的平行線與拋物線相交，請直接寫出交點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式是y=﹣x2+4x+5；（2）①當F（﹣4，﹣3）時，S△ABF=6；當F（3，4）時，S△ABF=8；②F點的坐標為（，），（，），（，），（，）．

【解析】（1）將點A、E的坐標代入利用待定系數法進行求解即可得；

（2）①先利用待定系數法求得直線AE的解析式，然后利用旋轉的性質求得點F坐標，分情況進行討論即可得；

②由題意可知直線AE向上平移2個單位或向下平移2個單位，求出平移后的解析式然后分別與二次函數的解析式聯立組成方程組進行求解即可得.

（1）將A，E點坐標代入函數解析式，得

，解得，

拋物線的解析式是y=﹣x2+4x+5；

（2）①設AE的解析式為y=kx+b，將A，E點坐標代入，得

，解得，

AE的解析式為y=x+1，x=0時，y=1，即C（0，1），

設F點坐標為（n，n+1），由旋轉的性質得：OF=OB=5，n2+（n+1）2=25，

解得n1=﹣4，n2=3，F（﹣4，﹣3），F（3，4），

當F（﹣4，﹣3）時，如圖1，

，

S△ABF=S△BCF﹣S△ABC=BC|xF|﹣BC|xA|=BC（xA﹣xF），

S△ABF=×4（﹣1+4）=6；

當F（3，4）時，如圖2，

，

S△ABF=S△BCF+S△ABC=BC|xF|+BC|xA|=BC（xF﹣xA），

S△ABF=×4（3+1）=8；

②如圖3，

∵∠HCG=∠ACO，∠HGC=∠COA，∴△HGC∽△COA，

∵OA=OC=1，∴CG=HG=，由勾股定理，得HC==2，

直線AE向上平移2個單位或向下平移2個單位，

l的解析是為y=x+3，l1的解析是為y=x﹣1，

聯立，

解得，，

，解得，，

F點的坐標為（，），（，），（，），（，）．