Question

同學們知道：x₀是一元二次方程ax²+bx+c=0的根，則ax₀²+bx₀+c=0；反過來，若ax₀²+bx₀+c=0（a≠0）則x₀是一元二次方程ax²+bx+c=0的一根．
問題：已知實數a、b滿足a²+3a-1=0，b²+3b-1=0，求：

b

a

+

a

b

的值．

Answer 1

分析：若a與b相等，直接求出所求式子的值；若a與b不相等，根據題中已知的ax₀²+bx₀+c=0（a≠0），則x₀是一元二次方程ax²+bx+c=0的一根，由實數a、b滿足a²+3a-1=0，b²+3b-1=0，得到a與b為一個一元二次方程的兩根，找出此方程中的a，b及c，計算出b²-4ac，發現其值大于0，故利用根與系數的關系求出兩根之和與兩根之積，然后把所求式子通分后，分子配方得到關于a+b與ab的式子，將a+b與ab的值整體代入即可求出值．

解答：解：當a=b時，

b

a

+

a

b

=1+1=2；
當a≠b時，a與b為方程x²+3x-1=0的兩個根，
∵a=1，b=3，c=-1，
∴b²-4ac=3²+4=13＞0，
由根與系數的關系得：a+b=-

3

1

=-3，ab=

-1

1

=-1，
∴

b

a

+

a

b

=

a2+b2

ab

=

(a+b)2-2ab

ab

=

(-3)2+2

-1

=-11．
綜上，

b

a

+

a

b

的值為2或-11．

點評：此題考查了根與系數的關系，在運用根與系數關系時，先考慮一元二次方程中根的判別式大于等于0，即方程有解這個前提，然后利用通分、配方、提取公因式等方法把所求的式子變形為與兩根之和及兩根之積有關的式子，最后把求出的兩根之和與兩根之積整體代入即可求出值．本題分兩種情況考慮：a與b相等；a與b不相等，學生做題時考慮問題要全面，不要遺漏解．