Question

（2009•盧灣區二模）如圖，已知A、B、C分別是圓O上的點，OC平分劣弧且交弦AB于點H，AB=，CH=3．
（1）求劣弧的長；（結果保留π）
（2）將線段AB繞圓心O順時針旋轉90°得線段A′B′，線段A′B′與線段AB交于點D，在圖中畫出線段A′B′，并求線段AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）求弧長，需知道圓心角的度數，半徑長．那么根據OC平分劣弧，可得到OH⊥AB，連接圓心和弦的端點構造直角三角形，利用三角函數求得半徑和圓心角即可．
（2）旋轉中心為O，旋轉方向，順時針，旋轉角度90，分別得到A，B的對應點．利用旋轉可得HD和OH的值相等，那么AD=AH+HD．
解答：解：∵OC平分AB，
∴OH⊥AB，．（1分）
連接OA、OB，
設OA=r，則OH=r-3，
由勾股定理得，
解得r=6．（2分）
∵OH⊥AB，OH=3，OA=6，
∴∠OAB=30度．
∵OA=OB，
∴∠OBA=30°，
∴∠AOB=120度．（1分）
∴．（1分）

（2）作圖如下圖（2分）

取A'B'中點H'，連接OH'，則OH'⊥A'B'，H'是點H旋轉后的對應點，
∴∠HOH'=90°，OH=OH'．
又OH⊥AB，
∴四邊形HOH'D正方形．（2分）
∴HD=OH=3．
∴．（1分）
點評：求半徑和圓心角通常是構造直角三角形利用特殊的三角函數來求解；做弦心距也是常用的輔助線方法．