Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，過點O作OH⊥AB交圓于點H，點C是弧AH上異于A、B的動點，過點C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分別為D、E，過點C的直線交OA的延長線于點G，且∠GCD=∠CED．

（1）求證：GC是⊙O的切線；
（2）求DE的長；
（3）過點C作CF⊥DE于點F，若∠CED=30°，求CF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OC，交DE于M，如圖所示：

∵OH⊥AB，CD⊥OA，CE⊥OH，∴∠DOE=∠OEC=∠ODC=90°，∴四邊形ODCE是矩形，∴∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD，

∴∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD，∵∠GCD=∠CED，∴∠GCD+∠MCD=90°，即GC⊥OC，∴ GC是⊙O的切線

（2）

解：由（1）得：DE=OC=AB=3；

（3）

解：∵∠DCE=90°，∠CED=30°，∴CE=DEcos∠CED=3×=，∴ CF=CE=

【解析】（1）先證明四邊形ODCE是矩形，得出∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD，得出∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD，證出∠GCD+∠MCD=90°，即可得出結論；（2）由（1）得：DE=OC=AB，即可得出結果；（3）運用三角函數求出CE，再由含30°角的直角三角形的性質即可得出結果．