Question

【題目】數學老師布置了這樣一道作業題：
在△ABC中，AB=AC≠BC，點D和點A在直線BC的同側，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，連接AD，求∠ADB的度數．
小聰提供了研究這個問題的過程和思路：先從特殊問題開始研究，當α=90°，β=30°時（如圖1），利用軸對稱知識，以AB為對稱軸構造△ABD的軸對稱圖形△ABD′，連接CD′（如圖2），然后利用α=90°，β=30°以及等邊三角形的相關知識便可解決這個問題．

（1）請結合小聰研究問題的過程和思路，求出這種特殊情況下∠ADB的度數；
（2）結合小聰研究特殊問題的啟發，請解決數學老師布置的這道作業題；
（3）解決完老師布置的這道作業題后，小聰進一步思考，當點D和點A在直線BC的異側時，且∠ADB的度數與（1）中相同，則α，β滿足的條件為（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1

作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，連接CD′，AD′，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=45°，

∵∠DBC=30°，

∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°，

∵AB=AB，∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，

∴△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，

∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，

∵BD=BD′，BD=BC，

∴BD′=BC，

∴△D′BC是等邊三角形，

∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，

∵AB=AC，AD'=AD'，

∴△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B=∠AD′C，

∴∠AD′B= ∠BD′C=30°，

∴∠ADB=30°

（2）

解：第一種情況：當60°＜α≤120°時，

如圖2，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，連接CD′，AD′，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠BAC=α，

∴∠ABC= =90°﹣ ，

∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣ ﹣β，

同（1）可證△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣ ﹣β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B

∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°﹣ =180°﹣（α+β），

∵α+β=120°，

∴∠D′BC=60°，

以下同（1）可求得∠ADB=30°，

第二種情況：當0°＜α＜60°時，

如圖3，

作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，連接CD′，AD′．同理可得：∠ABC= ，

∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC= ，

同（1）可證△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′= ，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，

∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°﹣ ，

∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．

同（1）可證△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B=∠AD′C，

∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，

∴∠ADB=∠AD′B=150°

（3）0°＜α＜120°，β=60°或120°＜α＜180°，0＜β＜60°時，α﹣β=120°或120°＜α＜180°，β=60°
【解析】解：（3）點D和點A在直線BC的異側時，分三種情況討論：
第一種情況：如圖4，

當120°＜α＜180°，β=60°時，連接CD，
∵∠DBC=β=60°，BD=BC，
∴△DBC是等邊三角形，
∴BD=CD，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC=30°，
第二種情況：如圖5，

當120°＜α＜180°，0＜β＜60°時，連接CD′，
∠ABC= =90°﹣ ，
∠ABD=∠ABC+∠DBC=90°﹣ +β，
∵△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣ +β，
∵∠ADB=∠AD′B=30°，
∴∠BD′C=60°，
∵BD′=CD′，
∴△BD′C是等邊三角形，
∴∠CBD′=（90°﹣ +β）+（90°﹣ ）=60°，
∴α﹣β=120°，
第三種情況：如圖6，

當0°＜α＜120°，β=60°時，連接CD，
與圖4同理得：∠ADB=∠ADC=30°，
所以答案是：0°＜α＜120°，β=60°或120°＜α＜180°，0＜β＜60°時，α﹣β=120°或120°＜α＜180°，β=60°．
【考點精析】關于本題考查的全等三角形的性質，需要了解全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等才能得出正確答案．