Question

如圖，點P、Q是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，下列結論錯誤的是

1. A.
   BP=CM
2. B.
   △ABQ≌△CAP
3. C.
   ∠CMQ的度數不變，始終等于60°
4. D.
   當第秒或第秒時，△PBQ為直角三角形

Answer 1

A
分析：A、等邊三角形ABC中，AB=BC，而AP=PQ，所以BP=CQ．
B、根據等邊三角形的性質，利用SAS證明△ABQ≌△CAP；
C、由△ABQ≌△CAP根據全等三角形的性質可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠CMQ=60°；
D、設時間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，當∠PQB=90°時，因為∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，當∠BPQ=90°時，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此兩種情況即可得出結論．
解答：解：A、在等邊△ABC中，AB=BC．
∵點P、Q的速度都為1cm/s，
∴AP=PQ，
∴BP=CQ．
只有當CM=CQ時，BP=CM．
故本選項錯誤；
B、∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵點P、Q運動速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ與△CAP中，
∵，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）．
故本選項正確；
C、點P、Q在運動的過程中，∠QMC不變．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．
故本選項正確；
D、設時間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，
當∠PQB=90°時，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=，
當∠BPQ=90°時，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=，
∴當第秒或第秒時，△PBQ為直角三角形．
故本選項正確．
故選A．
點評：此題是一個綜合性題目，主要考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質等知識．熟知等邊三角形的三個內角都是60°是解答此題的關鍵．