Question

如圖，在直徑為AB的半圓內，畫出一個三角形區域，使三角形的一邊為AB，頂點C在半圓周上，其它兩邊分別為6和8，現要建造一個內接于△ABC的矩形建筑物DEFN，其中DE在AB上，設計方案是使AC=8，BC=6．
（1）求△ABC中AB邊上的高h；
（2）設DN=x，當x取何值時，建筑物DEFN所占區域的面積最大？
（3）實際施工時，發現在AB邊上距B點1.85的K處有一處文物，問：這處文物是否位于最大建筑物的邊上？如果在，為保護文物，請設計出你的方案，使滿足條件的內接三角形中欲建的最大矩形建筑物能避開文物．

Answer 1

解：（1）過C作CM⊥AB于M，則CM=h，
在Rt△ABC中，AB===10，
根據三角形面積公式得：S_△ACB=AC×BC=AB×h，
∴h===4.8

（2）∵△CNF∽△CAB
∴
∴NF=
∴=-（x-2.4）²+12，
則當x=2.4時，S_矩形DEFN最大；

（3）當S_矩形DEFN最大，x=2.4，
過點C作CM⊥AB于點M，
∵△ABC是直角三角形，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴CM==4.8，
∵EF=CM=2.4，
∴F為BC中點，
BF=BC=3，
在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3
∴EB===1.8
∵BK=1.85
∴BK＞EB
故文物必位于欲修建的建筑物邊上，應重新設計方案
∵x=2.4時，NF=5
∴AD=3.2
由圓的對稱性知：滿足題設條件的設計方案是：
將最大面積的建筑物建在使AC=6，BC=8，且C點在半圓周上的△ABC中．
答：（1）△ABC中AB邊上的高h為4.8；（2）當x=2.4時，S_矩形DEFN最大；（3）文物必位于欲修建的建筑物邊上，應重新設計方案，新設計方案是將最大面積的建筑物建在使AC=6，BC=8，且C點在半圓周上的△ABC中．
分析：（1）首先利用勾股定理求得AB的長．再利用三角形面積的兩種求法解得高h的值．
（2）根據相似形對應邊成比例列出矩形面積關于x的關系式，利用二次函數的性質求關系式的最大值．
（3）根據（2）知，知道x的取值，此時S_矩形DEFN最大，求得EF、BF的值．再利用勾股定理求得BE的值，并與1.85比較大�。�
點評：本題主要考查了二次函數求極值、勾股定理、相似三角形的性質與判定等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法．