Question

如圖，矩形紙片ABCD，點E是AB上一點，且BE：EA=5：3，EC=，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若點B恰好落在AD邊上，設這個點為F，若⊙O內切于以F、E、B、C為頂點的四邊形，則⊙O的面積=    ．

Answer 1

【答案】分析：連接OB，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若點B恰好落在AD邊上，則BE=EF，BC=CF；再由BE：EA=5：3可以設BE=5x，EA=3x，則FA=4x，CD=8x，又CF=AD，CF²=CD²+DF²，可得CF=10x，DF=6x，則BC=10x；在Rt△EBC中，由勾股定理可求得x的值，再由面積S_△EBC=S_△OEB+S_△OBC求得⊙O半徑，求出面積．
解答：解：連接OB，
由于把△BCE沿折痕EC向上翻折，若點B恰好落在AD邊上，
則BE=EF，BC=CF；
由BE：EA=5：3，設BE=5x，EA=3x，
則FA=4x，CD=8x，又CF=AD，∴CF²=CD²+DF²，即CF²=（8x）²+（CF-4x）²，可得CF=10x，DF=6x，則BC=10x；
在Rt△EBC中，EB²+BC²=EC²，即（5x）²+（10x）²=（15）²，
解得：x=3，則BE=15，BC=30．
再由S_△EBC=S_△OEB+S_△OBC，則×BE×BC=×BE×r+×BC×r，
解得：r=10；
則⊙O的面積為πr²=100π．
點評：本題考查了切線的性質及勾股定理的應用，難度稍大，解題時要理清思路．