Question

（2009•豐澤區質檢）如圖，在平面直角坐標系，A，B兩點的坐標分別為（0，-2），（0，8），以AB為一邊作正方形ABCD，再以CD為直徑的半圓P．設x軸交半圓P于點E，交邊CD于點F．
（1）求線段EF的長；
（2）連接BE，試判斷直線B與⊙P的位置關系，并說明你的理由；
（3）直線BE上是否存在著點Q，使得以Q為圓心、r為半徑的圓，既與y軸相切又與⊙P外切？若存在，試求r的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）線段EF的長，在△EFP中，根據勾股定理求出；
（2）要想證BE是⊙O的切線，只要連接PE，求證∠PEB=90°即可；
（3）求r的值，因為⊙Q與⊙P外切有PQ=r+5，Q與y軸相切有QM=r，則QN=MN-QM=10-r，則通過證明△BMQ∽△BOE可求NP=5-，在Rt△QNP中由勾股定理得出QN²+NP²=PQ²，列出關于r的方程，求出r的值．
解答：解：（1）連接PE，EF===4（3分）

（2）（解法一）
∵==2，==2，
∴Rt△BOE∽Rt△EFP．
∴∠OBE=∠FEP．
∴∠OBE+∠OEB=90°?∠FEP+∠OEB=90°?∠BEP=90°．
∴直線B與⊙P相切．（3分）
（解法二）連接PB，
在Rt△PCB中，PB²=PC²+BC²=5²+10²=125，
在Rt△BOE中，BE²=BO²+OE²=8²+6²=100，
在△PEB中，BE²+PE²=100+25=PB²
∴∠PEB=90°．（3分）
∴直線B與⊙P相切．（1分）

（3）連接PQ，
∵⊙Q與⊙P外切，
∴PQ=r+5．（1分）
過Q作QM⊥y軸于M，交CD于N，
∵⊙Q與y軸相切，
∴QM=r．
∴QN=MN-QM=10-r．（1分）
∵MQ∥OE，
∴△BMQ∽△BOE．
∴=．
∴BM==．
∴NP=NF-PF=MO-PF=BO-BM-PF=5-．（2分）
（另解：直線DE所對應的函數關系式為y=-x+8，設Q（r，h），代入得h=-r+8，即NF=-+8，從而NP=5-）
∵在Rt△QNP中，QN²+NP²=PQ²∴（10-r）²+（5-）²=（5+r）²
∴16r²-390r+900=0．（1分）
解得：r==．（1分）
點評：本題難度較大，綜合性較強，考查了正方形，直角三角形的性質，直線與圓，圓與圓的關系，切線的判斷，相似三角形的性質及函數知識．