Question

已知：如圖，△OBC內(nèi)接于圓，圓與直角坐標(biāo)系的x、y軸交于B、A兩點(diǎn)，若∠BOC=45°，∠OBC=75°，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）．
求：（1）B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）構(gòu)造以AB為斜邊的直角三角形，利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠C的度數(shù)，利用同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠OAB的度數(shù)，進(jìn)而利用∠OAB的正切值可求得OB長(zhǎng)，也就求得了點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）作出以BC為斜邊的直角三角形，利用45°的余弦值可求得BE長(zhǎng)，進(jìn)而利用60°的正弦值可求得BC長(zhǎng)．

解答：解：（1）連接AB（1分）
∵∠BOC=45°，∠OBC=75°，
∴∠OAB=∠OCB=60°．（2分）
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∴AO=2．
在Rt△AOB中，tanBAO=

OB

AO

，
∴OB=AO•tan60°=2

3

，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2

3

，0)；（3分）

（2）作BE⊥OC于E（4分）．
∵∠BOE=45°，
∴OE=BE．
在Rt△BEO中，OE²+BE²=OB²，BE=

6

，（5分）
在Rt△BEC中，sin∠C=

BE

BC

，
∴BC=

BE

sin∠C

=

6

3 2

=2

2

（6分）．

點(diǎn)評(píng)：考查銳角三角函數(shù)的運(yùn)用；注意構(gòu)造所求邊所在的有特殊角的直角三角形．