Question

（2011•金東區模擬）已知拋物線y=-

2

3

(x+1)(x-3)與x軸相交于點A，B（A點在B點左邊），點C為拋物線上一個動點，直線y=m（0＜m＜2）與線段AC，BC分別相交于D，E兩點，在x軸上的點P，使得△DEP為等腰直角三角形，則點P的坐標為

P₁（-

1

2

，0），P₂（1，0），P₃（

1

2

，0）

．

Answer 1

分析：若△DEP為等腰直角三角形，應分情況進行討論，需注意應符合兩個條件：等腰，有直角．

解答：解：令y=-

2

3

(x+1)(x-3)=0，解得：x=-1或x=3，
∵A點在B點左邊，
∴A點的坐標為（-1，0），B點的坐標為（3，0），
設直線y=m與y軸的交點為F（0，m）．
①當DE為腰時，分別過點D，E作DP₁⊥x軸于P₁，作EP₂⊥x軸于P₂，如圖，
則△P₁DE和△P₂ED都是等腰直角三角形，DE=DP₁=FO=EP₂=m，AB=x₂-x₁=4．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴

DE

AB

=

CF

OC

，即

m

4

=

2-m

2

．
解得m=

4

3

．
∴點D的縱坐標是

4

3

，
∵點D在直線AC上，
∴2x+2=

4

3

．，解得x=-

1

3

，
∴D（-

1

3

，

4

3

）．
∴P₁（-

1

3

，0），同理可求P₂（1，0）．

②當DE為底邊時，
過DE的中點G作GP₃⊥x軸于點P₃，如圖，
則DG=EG=GP₃=m，
由△CDE∽△CAB，
得

DE

AB

=

CF

OC

，即

2m

4

=

2-m

2

，
解得m=1．
同1方法．求得D（-

1

2

，1），E（

3

2

，1），
∴DG=EG=GP₃=1
∴OP₃=FG=FE-EG=

1

2

，
∴P₃（

1

2

，0）
結合圖形可知，P₃D²=P₃E²=2，ED²=4，
∴ED²=P₃D²+P₃E²，
∴△DEP₃是Rt△，
∴P₃（

1

2

，0）也滿足條件．
綜上所述，滿足條件的點P共有3個，即P₁（-

1

2

，0），P₂（1，0），P₃（

1

2

，0）．
故答案為：P₁（-

1

2

，0），P₂（1，0），P₃（

1

2

，0）．

點評：本題考查的知識點較為全面：解一元二次方程，相似的應用以及勾股定理，等腰三角形的性質等，需耐心分析，加以應用．