Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C為AB延長線上一點，CD與⊙O相切，切點為E，AD⊥CD于點D，交⊙O于點F，若⊙O的半徑為2，設BC=x，DF=y，則y關于x的函數解析式為y=

 

．

Answer 1

分析：連接OE，BF，由CD為圓O的切線，根據切線的性質得到OE與CD垂直，又AD與DC垂直，得到一對直角相等，由角C為公共角，利用兩對角對應相等的兩三角形相似，得到三角形COE與三角形CAD相似，由相似得比例，表示出AD，然后再由AB為圓O的直徑，根據圓周角定理得到直角，進而由同位角相等兩直線平行得到BF與CD平行，再由兩直線平行同位角相等得到角ABF與角C相等，得到三角形ABF與三角形OCE相似，由相似得比例，表示出AF，用表示出的AD減AF即可得到DF，即為y關于x的關系式．

解答：解：連接OE，BF，
∵CD與圓O相切，∴OE⊥CD，
∴∠OEC=90°，又AD⊥DC，
∴∠D=∠OEC=90°，由∠C為公共角，
∴△COE∽△CAD，
∴

OE

AD

=

CO

CA

，即

2

AD

=

x+2

x+4

，
∴AD=

2x+8

x+2

，
又∵AB為圓O的直徑，∴∠AFB=90°，
∴∠AFB=∠OEC=∠D=90°，∴BF∥CD，
∴∠ABF=∠C，
∴△ABF∽△OCE，
∴

AF

OE

=

AB

OC

，即

AF

2

=

4

x+2

，
∴AF=

8

x+2

，
∴y=DF=AD-AF=

2x+8

x+2

-

8

x+2

=

2x

x+2

．

點評：此題考查了相似三角形的判斷與性質，切線的性質及圓周角定理．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．在圓中遇到直徑，常常構造直徑所對的圓周角．