Question

【題目】在菱形中，，，點是邊上的中點，點是上的一動點（不與點重合），延長交射線于點，連結、．

求證：四邊形是平行四邊形；

填空：①當________時，四邊形是矩形；②當________時，四邊形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①；②．

【解析】

（1）利用菱形的性質和已知條件可證明四邊形AMDN的對邊平行且相等即可；

（2）①有（1）可知四邊形AMDN是平行四邊形，利用有一個角為直角的平行四邊形為矩形即∠DMA＝90°，所以AM＝AD＝1時即可；

②當平行四邊形AMND的鄰邊AM＝DM時，四邊形為菱形，利用已知條件再證明三角形AMD是等邊三角形即可．

（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴ND∥AM，

∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，

又∵點E是AD邊的中點，

∴DE＝AE，

∴△NDE≌△MAE，

∴ND＝MA，

∴四邊形AMDN是平行四邊形；

（2）①當AM的值為1時，四邊形AMDN是矩形．理由如下：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝AD＝2．

∵AM＝AD＝1，

∴∠ADM＝30°

∵∠DAM＝60°，

∴∠AMD＝90°，

∴平行四邊形AMDN是矩形；

故答案為：1；

②當AM的值為2時，四邊形AMDN是菱形．理由如下：

∵AM＝2，

∴AM＝AD＝2，

∴△AMD是等邊三角形，

∴AM＝DM，

∴平行四邊形AMDN是菱形，

故答案為：2．