Question

（2007•荊州）如圖矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P點，將一個直角三角板的直角頂點放在P點處，且使它的一條直角邊過A點，另一條直角邊交CD于E．找出圖中與PA相等的線段．并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：可由∠B=∠C=90°，AB=PC，∠APB=∠PEC，證得△ABP≌△PCE，所以PA=PE．
解答：解：圖中與PA相等的線段是PE．理由如下：
由DP平分∠ADC可得∠ADP=∠PDC=45°，
又由AD∥BC可得∠ADP=∠DPC，從而得到∠PDC=∠DPC，所以PC=DC．
又因為AB=DC，所以AB=PC．
由于直角三角板的直角頂點放在點P處，所以∠APE=90°．
從而∠APB+∠EPC=90°．
∵∠EPC+∠PEC=90°．
∴∠APB=∠PEC．
在△PAB和△EPC中，
因為∠B=∠C=90°，AB=PC，∠APB=∠PEC，
所以△PAB≌△EPC（AAS），
從而可得PE=PA．
點評：本題把角平分線置于矩形的背景之中，與平行線組合使用，溝通了角與角之間的關系．由于角平分線、平行線都具有轉化角的作用，在兩者共存的圖形中常會出現等腰三角形，所以命題者常將兩者組合，設計出精彩紛呈的題目．