Question

如圖，拋物線y=-x²-2ax+b經過點A（1，0）和點P（3，4）．
（1）求此拋物線的解析式，寫出拋物線與x軸的交點坐標和頂點坐標，并依此在所給平面直角坐標系中畫出拋物線的大致圖象；
（2）若拋物線與x軸的另一個交點為B，現將拋物線向射線AP方向平移，使P點落在M點處，同時拋物線上的B點落在點D（BD∥PM）處．設拋物線平移前P、B之間的曲線部分與平移后M、D之間的曲線部分，與線段MP、BD所圍成的面積為m，線段 PM為n，求m與n的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）分別將A點和P點的坐標代入解析式中求解即可得出a和b的值，即可得出拋物線的解析式；從而可根據解析式得出拋物線與x軸的交點坐標和頂點坐標；圖象如下圖所示．
（2）先根據平移的性質可以得出四邊形MPBD是平行四邊形，陰影部分即為四邊形MPBD是平行四邊形的面積，過點B作BE⊥PA于E，即有4PA=BEAB，故四邊形MPBD的面積m=BE•PM，代入數據即可得出m和n的關系．

解答：解：（1）拋物線y=x²-2ax+b經過點A（1，0）和點P（3，4），
∴

-1-2a+b=0 -9-6a+b=4

解得

a=-3 b=-5

拋物線與x軸的交點坐標為（5，0），（1，0），頂點坐標為（3，4）（即P點），
由此可作出拋物線的大致圖象如右；

（2）如圖，連接PB，MD，
根據平移的性質可知，PB與MD平行且相等，四邊形MPBD是平行四邊形，
陰影部分的面積就是平行四邊形MPBD的面積，
過B點作BE⊥PA，垂足為E，
則有sin∠PAB=

4

PA

=

BE

AB

，
∵A（1，0）和點P（3，4），
∴PA=

42+22

=2

5

，而AB=4，
∴BE=

16

2 5

=

8 5

5

，
∴平行四邊形MPBD，其面積為S=BE•PM，即有m=

8 5

5

n．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和平行四邊形的有關知識，主要考查學生數形結合的數學思想方法．