Question

已知關于x的一元二次方程x²﹣（2k+1）x+k²+k=0．

（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；

（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數根．第三邊BC的長為5，當△ABC是等腰三角形時，求k的值．

Answer 1

【考點】根的判別式；解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關系；等腰三角形的性質．

【專題】計算題；壓軸題．

【分析】（1）先計算出△=1，然后根據判別式的意義即可得到結論；

（2）先利用公式法求出方程的解為x₁=k，x₂=k+1，然后分類討論：AB=k，AC=k+1，當AB=BC或AC=BC時△ABC為等腰三角形，然后求出k的值．

【解答】（1）證明：∵△=（2k+1）²﹣4（k²+k）=1＞0，

∴方程有兩個不相等的實數根；

 

（2）解：一元二次方程x²﹣（2k+1）x+k²+k=0的解為x=，即x₁=k，x₂=k+1，

∵k＜k+1，

∴AB≠AC．

當AB=k，AC=k+1，且AB=BC時，△ABC是等腰三角形，則k=5；

當AB=k，AC=k+1，且AC=BC時，△ABC是等腰三角形，則k+1=5，解得k=4，

綜合上述，k的值為5或4．

【點評】本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了三角形三邊的關系以及等腰三角形的性質．