Question

已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于點P，A為⊙O₁上一點，直線AC切⊙O₂于點C，且交⊙O₁于點B，AP的延長線交⊙O₂于點D．
（1）求證：∠BPC=∠CPD；
（2）若⊙O₁半徑是⊙O₂半徑的2倍，PD=10，AB=，求PC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據弦切角定理得出∠PAB=∠BPE，利用切線長定理得出EP=EC，再利用三角形的外角性質得出∠CPD=∠EPC+∠BPE，即可得出答案；
（2）首先得出△O₁PA∽△O₂DP，求出AP的長，進而得出BC的長，再利用△DPC∽△CPB，△APC∽△ACD，即可得出PC，CD的關系即可得出PC的長．
解答：（1）證明：如圖1，過點P作兩圓的公切線PE，交BC于點E，
∵⊙O₁與⊙O₂外切于點P，直線AC切⊙O₂于點C，
∴EP=EC，∠PAB=∠BPE，
∴∠ECP=∠EPC，
又∵∠PAC+∠ACP=∠CPD，
∴∠CPD=∠EPC+∠BPE，
∴∠BPC=∠CPD；

（2）解：如圖2，連接O₁O₂，AO₁，DO₂，CD，
∵∠O₁PA=∠O₁AP，∠O₂DP=∠O₂PD，∠O₁PA=∠O₂PD，
∴∠O₁PA=∠O₁AP=∠O₂DP=∠O₂PD，
∴△O₁PA∽△O₂DP，
∴==，
∵PD=10，
∴AP=20，
∵直線AC切⊙O₂于點C，
∴AC²=AP×AD=（20+10）×20=600，
∴AC=10，
∵AB=7，
∴BC=3，
∵直線AC切⊙O₂于點C，
∴∠PDC=∠PCB，
∵∠PDC=∠BPC，
∴△DPC∽△CPB，
∴=，
∴=，
∵∠CAP=∠DAC，∠PCA=∠CDA，
∴△APC∽△ACD，
∴===，
∴CD=PC，
∴=，
解得：PC=2．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及弦切角定理和相似三角形的性質和判定，根據已知得出PC與CD的比例關系是解題關鍵．