Question

閱讀下列材料．
對于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），當△=b²-4ac＞0時，記方程兩根分別為x₁，x₂，則有：x1=

-b+ △

2a

，x2=

-b- △

2a

．發現：x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

，
如圖：若一元二次方程x2-

3

2

mx-2m=0的兩實數根分別是A點，B點的坐標，即x₁，x₂，且x₁＜0＜x₂，（AO+OB）²=12•OC+1．
（1）求m的值并求出x₁，x₂．
（2）在前面的條件下，若過O作數軸的垂線，D為垂線上一點，取OD=OC，連AD，BD，試說明AD與BD的位置關系，這樣的D點有幾個，畫圖說明．

Answer 1

分析：（1）利用根與系數的關系得出（x₁+x₂）²-4x₁x₂=25，進而得出m的值，進而求出方程的根；
（2）利用數形結合以及勾股定理求出AD與BD的位置關系即可．

解答：解：（1）∵（AO+OB）²=12•OC+1，
∴（-x₁+x₂）²=12×2+1，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=25，
∵x₁+x₂=

3

2

m，
x₁x₂=-2m，
∴（

3

2

m）²+8m=25，
整理得出：
9m ²+32m-100=0，
（9m+50）（m-2）=0，
解得：m₁=-

50

9

，m₂=2，
當m₁=-

50

9

時，△＜0，故舍去，
當m₂=2時，△＞0，
∴方程為：x²-3x-4=0，
解得：x₁=-1，x₂=4；

（2）∵如圖所示，x₁=-1，x₂=4，CO=2，
∴AO=1，OB=4，DO=CO=2，
∵AD²=AO²+DO²=1+4=5，BD²=DO²+BO²=4+16=20，
AB ²=25，
∴AD²+BD²=AB ²，
∴AD⊥BD，
如圖所示這樣的D點有2個．

點評：此題主要考查了根與系數的關系以及勾股定理和十字相乘法解一元二次方程，將根與系數的關系與代數式相結合解題是一種經常使用的解題方法．