Question

（2005•綿陽）如圖，在△ABC中，AB=2，AC=BC，CD⊥AB，垂足是D，△BCE與△BCD是關于BC成軸對稱的，且恰好使A、C、E在一條直線上．求四邊形BDCE的面積．

Answer 1

【答案】分析：解法1：根據AC=BC，可知∠ACD=∠BCD，由△BCE與△BCD是關于BC成軸對稱的，且A、C、E在一條直線上，可將∠ACD求出．在Rt△ACD中，可將CD的長求出，進而可求出△BCD的面積，根據四邊形BDCE的面積為2S_△BCD，可將四邊形BDCE的面積求出；
解法2：由題意可知△CDB≌△CEB≌△ACD，可得∠A=30°，從而可將△ABE的面積求出，根據S_△BDCE=S_△ABE，從而可將四邊形BDCE的面積求出．
解答：解：解法1：∵AC=BC，CD⊥AB于D，
∴∠A=∠CBA，∠ACD=∠BCD，AD=BD=1，
根據已知條件有Rt△BCD≌Rt△BCE，
∴∠BCD=∠BCE，
∴∠ACD=∠BCD=∠BCE，
而A、C、E在一條直線上，
∴∠ACD+∠BCD+∠BCE=180°，
∴∠ACD=∠BCD=∠BCE=60°，
進而∠A=30°，
于是在Rt△ACD中，AC=2CD，AC²=CD²+AD²，
∴4CD²=CD²+1，CD=，
因此四邊形BDCE的面積=2S_△BCD=2••BD•CD=；

解法2：由對稱性可知△CDB≌△CEB，
又AC=CB，CD⊥AB，
∴△ACD≌△CDB，
故S_{四邊形BDCE}=S_△ABE，
∵Rt△ABE中，BE=BD=1，AB=2，
∴∠A=30°，AE=，
因此S_△ABE=××1=，即S_{四邊形BDCE}=．
點評：此題考查軸對稱的基本性質，在解題過程中要注意一題多解．此題考查的計算技巧性很強，要注意對一些特殊三角形函數的應用．