Question

把Rt△ABC的斜邊AB放在x軸上，點A，B關于原點對稱，點A的橫坐標為-4，∠A=60°，點C在x軸上方，如圖．
（1）寫出點C的坐標；
（2）把△ABC繞著點O逆時針旋轉，得到△A′B′C′，問至少旋轉幾度，才能使直角邊
A′C′與x軸垂直？

Answer 1

分析：（1）如圖，由于點A，B關于原點對稱，點A的橫坐標為-4，由此可以確定B的坐標，然后確定AB的長度，又∠A=60°，由此可以求出AC的長度，然后就可以求出C的坐標；
（2）如圖，由于把△ABC繞著點O逆時針旋轉，得到△A′B′C′，根據旋轉的性質可以得到∠A′=60°，然后利用已知條件即可求出旋轉角．

解答：解：（1）∵點A，B關于原點對稱，點A的橫坐標為-4，
∴B的坐標為（4，0），
∴AB=8，而∠A=60°，
∴AC=4，
過C作CD⊥AB于D，
∴∠ACD=30°，
∴AD=2，CD=2

3

，
∴OD=OA-AD=2，
∴C的坐標為（-2，2

3

）；

（2）如圖，設把△ABC繞著點O逆時針旋轉，得到△A′B′C′，
依題意得∠AOA′是旋轉角，
而A′C′⊥OA，∠A′=∠A，
∴∠AOA′=30°，
∴至少旋轉30度，才能使直角邊A′C′與x軸垂直．

點評：此題分別考查了旋轉的性質、關于原點對稱的點的坐標及解直角三角形，首先利用關于原點對稱的性質求出C的坐標，然后利用旋轉的性質求出旋轉角即可解決問題．