Question

【題目】如圖，線段AB=10，動點P從點A出發，以每秒1個單位的速度，沿線段AB向終點B運動，同時，另一個動點Q從點B出發，以每秒3個單位的速度在線段AB上來回運動（從點B向點A運動，到達點A后，立即原速返回，再次到達B點后立即調頭向點A運動．） 當點P到達B點時，P，Q兩點都停止運動．設點P的運動時間為x．

（1）當x=3時，線段PQ的長為 ．

（2）當P，Q兩點第一次重合時，求線段BQ的長．

（3）是否存在某一時刻，使點Q恰好落在線段AP的中點上？若存在，請求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）7.5；（3）當x=或x=4或x=時，點Q恰好落在線段AP的中點上．

【解析】試題分析：（1）結合圖形，表示出AP、AQ的長，可得PQ；

（2）當P，Q兩點第一次重合時，點P運動路程+點Q運動路程=AB的長，列方程可求得；

（3）點Q落在線段AP的中點上有以下三種情況：①點Q從點B出發未到點A；②點Q到達點A后，從A到B；

③點Q第一次返回到B后，從B到A，根據AP=2AQ列方程可得．

解：（1）根據題意，當x=3時，P、Q位置如下圖所示：

此時：AP=3，BQ=3×3=9，AQ=AB﹣BQ=10﹣9=1，

∴PQ=AP﹣AQ=2；

（2）設x秒后P，Q第一次重合，得：x+3x="10"

解得：x=2.5，

∴BQ=3x=7.5；

（3）設x秒后，點Q恰好落在線段AP的中點上，根據題意，

①當點Q從點B出發未到點A時，即0＜x＜時，有

x=2（10﹣3x），

解得；

②當點Q到達點A后，從A到B時，即＜x＜時，有

x=2（3x﹣10），

解得 x=4；

③當點Q第一次返回到B后，從B到A時，即＜x＜10時，有

x=2（30﹣3x），

解得；

綜上所述：當x=或x=4或x=時，點Q恰好落在線段AP的中點上．

故答案為：（1）2．