Question

已知△ABC的三邊長都是整數，且△ABC外接圓的直徑為6.25，那么△ABC三邊的長是

 

．

Answer 1

分析：設△ABC三邊長為a，b，c且a，b，c均為正整數．根據已知條件知三角形的三個邊長均小于外接圓直徑6.25．然后根據海倫--秦九韶公式

p(p-a)(p-b)(p-c)

=S=

1

2

absinC=

abc

4R

求得64（abc）²=625•（a+b+c）（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b），最后由數的整除求得三角形的三個邊長．

解答：解：設△ABC三邊長為a，b，c且a，b，c均為正整數，△ABC外接圓直徑2R=6.25．
∵a，b，c≤2R，
∴a，b，c只能取1、2、3、4、5、6；
由

p(p-a)(p-b)(p-c)

=S=

1

2

absinC=

abc

4R

，得

1

24

•（a+b+c）（b+c-a）（c+a-b）（a+b-c）=(

abc

12.5

)2
∴64（abc）²=625•（a+b+c）（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）
∴5⁴|（abc）²故a，b，c中至少有兩個5；
不妨設a=b=5，則64C²=（10+c）•C•C•（10-c）?C=6，
∴△ABC三邊長為5，5，6．
故答案為：5、5、6．

點評：本題主要考查了三角形的三邊關系、正弦定理與余弦定理．解答此題時，綜合運用了海倫--秦九韶公式與數的整除的知識點．