Question

如圖1所示的紙杯，經測量（接縫處忽略不計），紙杯的杯口直徑為7cm，底面直徑為

17

3

cm，母線長為8cm，該紙杯的側面展開如圖2所示，
（1）求紙杯的側面展開圖2中杯口所在圓的半徑OA的長；
（2）若一只小蟲從紙杯底面的點C出發，沿紙杯側面爬行一周（如圖3）回到點A．求小蟲爬行的最短路程．（精確到1cm）
（3）請你設計一種方案，在一張矩形紙片上能夠剪出該紙杯的側面，并求出你所設計的矩形的面積，要求：盡可能小．（精確到1cm）

Answer 1

分析：（1）設∠O的度數是n，根據弧長公式得出7π=

nπ•OA

180

，

17π

3

=

nπ•(OA-8)

180

，求出OA和n即可；
（2）沿CA剪開，得出扇形AOA′，連接CA′，則CA′的長度是小蟲爬行的最短路程，過C作CE⊥OA′于E，求出CE和OE，求出A′E，根據勾股定理求出CA′即可；
（3）展開得出梯形ABCD，求出AB就是矩形的長，再求出梯形的高就是矩形的寬，根據面積公式求出即可．

解答：解：（1）設∠O的度數是n，
則7π=

nπ•OA

180

，

17π

3

=

nπ•(OA-8)

180

，
解得：OA=42，n=30°；
（2）在圖2中，沿CA剪開，得出扇形AOA′，連接CA′，則CA′的長度是小蟲爬行的最短路程，
過C作CE⊥OA′于E，
在Rt△COE中，OC=34，∠O=30°，
∴CE=17，OE=17

3

，
∴A′E=42-17

3

，
在Rt△CEA′中，CA′=

172+(42-17 3 )2

≈21cm，
（3）此方案設計的矩形的長約為21cm，寬約為10cm，面積為21×10=210（cm²）

點評：本題考查了平面展開-最短路線問題，矩形的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形等知識點的綜合運用．