Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經過A（﹣3.0）、C（0，4），點B在拋物線上，CB∥x軸，且AB平分∠CAO．
（1）求拋物線的解析式；
（2）線段AB上有一動點P，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點Q，求線段PQ的最大值；
（3）拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在，求出點M的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

（1）拋物線的解析式為y=﹣x²+x+4；
（2）線段PQ的最大值為；
（3）符合要求的點M的坐標為（，9）和（，﹣11）．

試題分析：（1）如圖1，易證BC=AC，從而得到點B的坐標，然后運用待定系數法求出二次函數的解析式；
（2）如圖2，運用待定系數法求出直線AB的解析式．設點P的橫坐標為t，從而可以用t的代數式表示出PQ的長，然后利用二次函數的最值性質就可解決問題；
（3）由于AB為直角邊，分別以∠BAM=90°（如圖3）和∠ABM=90°（如圖4）進行討論，通過三角形相似建立等量關系，就可以求出點M的坐標．
試題解析：（1）如圖1，

∵A（﹣3，0），C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∵∠AOC=90°，
∴AC=5．
∵BC∥AO，AB平分∠CAO，
∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．
∴BC=AC．
∴BC=5．
∵BC∥AO，BC=5，OC=4，
∴點B的坐標為（5，4）．
∵A（﹣3.0）、C（0，4）、B（5，4）在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴
解得：
∴拋物線的解析式為y=﹣x²+x+4；
（2）如圖2，

設直線AB的解析式為y=mx+n，
∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直線AB上，
∴
解得：
∴直線AB的解析式為y=x+．
設點P的橫坐標為t（﹣3≤t≤5），則點Q的橫坐標也為t．
∴y_P=t+，y_Q=﹣t²+t+4．
∴PQ=y_Q﹣y_P=﹣t²+t+4﹣（t+）
=﹣t²+t+4﹣t﹣
=﹣t²++
=﹣（t²﹣2t﹣15）
=﹣ [（t﹣1）²﹣16]
=﹣（t﹣1）²+．
∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，
∴當t=1時，PQ取到最大值，最大值為．
∴線段PQ的最大值為；
（3）①當∠BAM=90°時，如圖3所示．

拋物線的對稱軸為x=﹣=﹣=．
∴x_H=x_G=x_M=．
∴y_G=×+=．
∴GH=．
∵∠GHA=∠GAM=90°，
∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．
∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，
∴△AHG∽△MHA．
∴．
∴．
解得：MH=11．
∴點M的坐標為（，﹣11）．
②當∠ABM=90°時，如圖4所示．

∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，
∴BG=．
同理：AG=．
∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，
∴△AGH∽△MGB．
∴．
∴．
解得：MG=．
∴MH=MG+GH=+=9．
∴點M的坐標為（，9）．
綜上所述：符合要求的點M的坐標為（，9）和（，﹣11）．