Question

【題目】如圖，梯形中，，于，的平分線交于點，以點為圓心， 為半徑的圓經過點，交于另一點．

（1）求證：與相切；

（2）若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）tan∠ABC= ．

【解析】

試題分析：（1）過點O作OG⊥DC，垂足為G．先證明∠OAD=90°，從而得到∠OAD=∠OGD=90°，然后利用AAS可證明△ADO≌△GDO，則OA=OG=r，則DC是⊙O的切線；

（2）連接OF，依據垂徑定理可知BE=EF=12，在Rt△OEF中，依據勾股定理可知求得OF=13，然后可得到AE的長，最后在Rt△ABE中，利用銳角三角函數的定義求解即可．

試題解析：（1）過點O作OG⊥DC，垂足為G．

∵AD∥BC，AE⊥BC于E，∴OA⊥AD．∴∠OAD=∠OGD=90°．

在△ADO和△GDO中 ，∴△ADO≌△GDO．∴OA=OG．∴DC是⊙O的切線．

（2）如圖所示：連接OF．

∵OA⊥BC，∴BE=EF= BF=12．

在Rt△OEF中，OE=5，EF=12，∴OF= =13．∴AE=OA+OE=13+5=18．∴tan∠ABC= = ．