Question

如圖，△ABC中，AB=BC=5，AC=6，過點A作AD∥BC，點P、Q分別是射線AD、線段BA上的動點，且AP=BQ，過點P作PE∥AC交線段AQ于點O，連接PQ，設△POQ面積為y，AP=x．
（1）用x的代數式表示PO；
（2）求y與x的函數關系式，并寫出定義域；
（3）連接QE，若△PQE與△POQ相似，求AP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據AD∥BC，PE∥AC，判定四邊形APEC是平行四邊形，從而得到AC=PE=6，AP=EC=x，然后根據平行線分線段成比例定理列出比例式用含x的代數式表示PO；
（2）根據AB=BC=5，利用等邊對等角得到∠BAC=∠BCA，再根據∠APE=∠BCA，∠AOP=∠BCA，得到∠APE=∠AOP，設AP=AO=x，用含x的式子表示OQ=5-2x，利用△OHQ∽△AFB表示出y與x的函數關系式即可；
（3）根據當時，由AP=BQ=x，AQ=BE=5-x，∠PAQ=∠QBE可得△PAQ≌△QBE，于是PQ=QE，可得若△PQE與△POQ相似，只有△PQE∽△POQ，于是得，解得x的值即可．
解答：解：（1）∵AD∥BC，PE∥AC，
∴四邊形APEC是平行四邊形，
∴AC=PE=6，AP=EC=x，
∵，
∴=，
∴；

（2）∵AB=BC=5，
∴∠BAC=∠BCA
又∠APE=∠BCA，∠AOP=∠BCA，
∴∠APE=∠AOP，
∴AP=AO=x，
∴當時，OQ=5-2x；
作BF⊥AC，QH⊥PE，垂足分別為點F、H，
則易得AF=CF=3，AB=5，BF=4．
∵∠OHQ=∠AFB=90°，∠QOH=∠BAF，
∴△OHQ∽△AFB，
∴，
∴，
∴，
∴，
所以y與x的函數關系式是；

（3）當時，
由AP=BQ=x，AQ=BE=5-x，∠PAQ=∠QBE，
可得△PAQ≌△QBE，于是PQ=QE，
由于∠QPO=∠EPQ，
所以若△PQE與△POQ相似，只有△PQE∽△POQ，
可得OP=OQ，
于是得，
解得，
同理當，
可得（不合題意，舍去）．
所以，若△PQE與△POQ相似，AP的長為．
點評：本題主要考查了相似三角形的綜合知識，根據實際問題列一次函數關系式等，本題關鍵在于作出輔助線，找出等量關系．