Question

如圖，已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，點E、F在AB上，∠ECF=45°．
（1）求證：△ACF∽△BEC；
（2）設△ABC的面積為S，求證：AF•BE=2S．

Answer 1

【答案】分析：（1）所求的兩個三角形中，∠A、∠B同為45°，∠BCE、∠2均為45°+∠ECF，由此可得兩組對應角相等，即可證得所求的三角形相似．
（2）利用（1）題相似三角形所得比例線段即可證得此題的結論．
解答：證明：（1）∵AC=BC，∴∠A=∠B
∵∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，
∵∠ECF=45°，∴∠ECF=∠B=45°，
∴∠ECF+∠1=∠B+∠1
∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1；
∴∠BCE=∠2
∵∠A=∠B，∠BCE=∠2，
∴△ACF∽△BEC．

（2）∵△ACF∽△BEC
∴=，即AC•BC=BE•AF，
∴△ABC的面積：S=AC•BC=BE•AF
∴AF•BE=2S．
點評：此題主要考查的是等腰直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質以及三角形面積的計算方法，難度適中．