Question

已知拋物線y=x²+mx-

1

4

m²（m＞0）與x軸交于A、B兩點．
（1）求證：拋物線的對稱軸在y軸的左側；
（2）設拋物線與y軸交于點C，若∠ACB=90°，求m的值．

Answer 1

分析：（1）證明拋物線的對稱軸-

b

2a

＜0即可證明拋物線的對稱軸在y軸的左側；
（2）先設出拋物線與x軸的交點坐標為A（x₁，0），B（x₂，0），根據的x₁與x₂關系確定x₁，x₂異號，再設出C點坐標，利用射影定理可得CO²=AO•BO，進而得到關于m的方程，解可得答案．

解答：解：（1）證明：∵m＞0，
∴x=-

b

2a

=-

m

2

＜0，
∴拋物線的對稱軸在y軸的左側；

（2）設拋物線與x軸的交點坐標為A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁+x₂=-m＜0，x₁•x₂=-

1

4

m²＜0，
∴x₁，x₂異號，
當x=0時，y=-

1

4

m2，
∴拋物線與y軸交點坐標為C（0，-

1

4

m2），
∴OC=

1

4

m2，OA•OB=-x₁•x₂=

1

4

m2，
∵∠ACB=90°，AC⊥AB，
∴CO²=AO•BO，
∴（

1

4

m2）²=

1

4

m2，
解得：m=±2，
∵m＞0，
∴m=2．

點評：此題主要考查了二次函數的性質，一元二次方程根與系數的關系，拋物線與坐標軸的交點問題，題目難度不大，綜合性較強，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合數學思想的運用．