Question

（2010•湛江）如圖所示，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點P，PD⊥AC于點D，且PD與⊙O相切．
（1）求證：AB=AC；
（2）若BC=6，AB=4，求CD的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OP，根據切線的性質可知OP⊥PD，可求出OP∥AC，根據三角形中位線定理可知，OP=AC，由于OP=AB即可解答．
（2）連接AP，可得出Rt△CDP∽Rt△CPA，進而根據相似三角形的性質解答即可．
解答：（1）證明：連接OP，
∵PD與⊙O相切，
∴OP⊥PD，
∵AC⊥PD，
∴OP∥AC，
∵OP=0A=OB=AB，
∴OP是△ABC的中位線，∴OP=AC，
∴AC=AB．

（2）解：連接AP，
∵AB為直徑，
∴AP⊥BC；
由（1）知，AC=AB=4，
∴PC=PB；
又∵BC=6，
∴PC=3；
在Rt△CDP與Rt△CPA中，∠C=∠C，
∴Rt△CDP∽Rt△CPA，
∴=，
∵BC=6，AB=4，
∴=，
CD=．
點評：此題比較復雜，解答此題的關鍵是連接OP、AP，綜合利用切線、相似三角形、等腰三角形等知識來求解．