Question

如圖1，已知拋物線y=－x²+bx+c經過點A（1,0），B（－3,0）兩點，且與y軸交于點C.

(1) 求b，c的值。

（2）在第二象限的拋物線上，是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？求出點P的坐標及△PBC的面積最大值.若不存在，請說明理由.

(3) 如圖2，點E為線段BC上一個動點（不與B,C重合），經過B、E、O三點的圓與過點B且垂直于BC的直線交于點F，當△OEF面積取得最小值時，求點E坐標．

Answer 1

(1)  b=－2，c= 3 …………………………………（2分）

(2)存在。理由如下：……………………………… （3分）

        設P點

∵S_△BPC=

        當時，   ∴最大＝ …………………………………（4分） 

        當時， 

 ∴點P坐標為……………………………………………（5分）

  

(3)∵ OB=OC=3∴∠OBC=∠OCB=45^O,而∠OEF=∠OBF=45^O, ∠OFE=∠OBE=45^O,

    ∴∠OEF=∠OFE=45^O, ∴OE=OF, ∠EOF=90^O ……………………（6分）

∴=OE²

 ∴當OE最小時，△OEF面積取得最小值……………………………（7分）

 

∵點E在線段BC上,  ∴當OE⊥BC時，OE最小

     此時點E是BC中點∴ E( )  …………………………………（8分）