Question

已知拋物線y=ax²+bx經過點A（-3，-3）和點P（t，0），且t≠0．
（1）若該拋物線的對稱軸經過點A，如圖，請通過觀察圖象，指出此時y的最小值，并寫出t的值；
（2）若t=-4，求a、b的值，并指出此時拋物線的開口方向；
（3）直接寫出使該拋物線開口向下的t的一個值．

Answer 1

分析：（1）由圖可以看出A點為拋物線的頂點，且開口向上，所以此點即為此函數的最小值；
（2）點p是拋物線與x軸的一個交點，而此時另一個交點是0，那么P與O是關于拋物線對稱軸的兩個對稱點，知道了對稱點的坐標，就很容易求出t的值；
（3）a＞0時，拋物線的開口向上，a＜0時，拋物線的開口向下，求出a的值就知道其開口方向．

解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸經過點A，
∴A點為拋物線的頂點，
∴y的最小值為-3，
∵P點和O點對稱，
∴t=-6；

（2）分別將（-4，0）和（-3，-3）代入y=ax²+bx，得：

16a-4b=0 9a-3b=-3

，
解得，

a=1 b=4

∴拋物線開口方向向上；

（3）將A（-3，-3）和點P（t，0）代入y=ax²+bx，

9a-3b=-3① at2+bt=0②

，
由①得，b=3a+1③，
把③代入②，得at²+t（3a+1）=0，
∵t≠0，∴at+3a+1=0，
∴a=-

1

t+3

．
∵拋物線開口向下，∴a＜0，
∴-

1

t+3

＜0，
∴t+3＞0，
∴t＞-3．
故t的值可以是-1（答案不唯一）．
（注：寫出t＞-3且t≠0或其中任意一個數均給分）

點評：此題主要考查了拋物線的對稱性及開口方向的問題，對于二次函數的圖象和性質要很熟悉．