Question

設直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c．若a，b，c均為整數，且c=

1

3

ab-（a+b），求滿足條件的直角三角形的個數．

Answer 1

由勾股定理得，c²=a²+b²．
又∵c=

1

3

ab-（a+b），得c2=[

1

3

ab-(a+b)]2=

1

9

(ab)2-

2

3

ab(a+b)+(a+b)2．
即a2+b2=

1

9

(ab)2-

2

3

ab(a+b)+a2+2ab+b2．
整理得，ab-6（a+b）+18=0，即（a-6）（b-6）=18，
∵a，b均為正整數，不妨設a＜b，
可得

a-6=1  b-6=18

或

a-6=2  b-6=9

或

a-6=3  b-6=6

，
可解出

a=7  b=24  c=25

或

a=8  b=15  c=17

或

a=9  b=12  c=15 .

，
∴滿足條件的直角三角形有3個．
故答案為：3．