Question

如圖，設O為△ABC內一點，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P為任意一點（不是O）．求證：PA+PB+PC＞OA+OB+OC．

Answer 1

分析：過△ABC的頂點A，B，C分別引OA，OB，OC的垂線，設這三條垂線的交點為A₁，B₁，C₁（如圖），即可判定△A1B1C1為正三角形，
設P到△A₁B₁C₁三邊B₁C₁，C₁A₁，A₁B₁的距離分別為ha，hb，hc，且△A₁B₁C₁的邊長為a，高為h，則可以證明以h=h_a+h_b+h_c，根據PA+PB+PC＞P到△A1B1C1三邊距離之和，即可解題．

解答：證明：過△ABC的頂點A，B，C分別引OA，OB，OC的垂線，設這三條垂線的交點為A₁，B₁，C₁（如圖），考慮四邊形AOBC₁．

因為∠OAC₁=∠OBC₁=90°，∠AOB=120°，
所以∠C₁=60°．同理，∠A₁=∠B₁=60°．
所以△A₁B₁C₁為正三角形．
設P到△A₁B₁C₁三邊B₁C₁，C₁A₁，A₁B₁的距離分別為ha，hb，hc，且△A₁B₁C₁的邊長為a，高為h．
由等式S_△A1B1C1=S_△PB1C1+S_△PC1A1+S_△PA1B1
知

1

2

h•a=

1

2

h_a•a+

1

2

h_b•a+

1

2

h_c•a，
所以h=h_a+h_b+h_c．
這說明正△A₁B₁C₁內任一點P到三邊的距離和等于△A₁B₁C₁的高h，這是一個定值，所以OA+OB+OC=h=定值．
顯然，PA+PB+PC＞P到△A1B1C1三邊距離和，
所以PA+PB+PC＞h=OA+OB+OC．

點評：本題考查了等邊三角形的證明，考查了正三角形內任一點P到三邊的距離和等于該等邊三角形的高h，本題中求證正三角形內任一點P到三邊的距離和等于該等邊三角形的高h是解題的關鍵．