Question

若關于x的一元二次方程x²-2（2-k）x+k²+12=0有實數根α、β．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）設，求t的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于一元二次方程存在兩實根，令△≥0求得k的取值范圍；
（2）將α+β換為k的表達式，根據k的取值范圍得出t的取值范圍，求得最小值．
解答：解：（1）∵一元二次方程x²-2（2-k）x+k²+12=0有實數根a，β，
∴△≥0，
即4（2-k）²-4（k²+12）≥0，
4（4-4k+k²）-4k²-48≥0，
16-16k-48≥0，即16k≤-32，
解得k≤-2；

（2）由根與系數的關系得：a+β=-[-2（2-k）]=4-2k，
∴，
∵k≤-2，
∴-2≤＜0，
∴，
即t的最小值為-4．
點評：本題考查了根與系數的關系及根的判別式，難度適中，關鍵是掌握兩根之和、兩根之積與系數的關系．