Question

在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，點D、E分別在AB、AC上，且DE將△ABC的周長分成相等的兩部分．設AE=x，AD=y，△ADE的面積為S．
（1）求出y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（2）求出S關于x的函數關系式；試判斷S是否有最大值，若有，則求出其最大值，并指出此時△ADE的形狀；若沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵DE平分△ABC的周長，
∴AD+AE==12，
即y+x=12，
∴y關于x的函數關系式為：y=12﹣x（2≤x≤6）．
（2）過點D作DF⊥AC，垂足為F，
∵6²+8²=10²，
即AC²+BC²=AB²
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°
∴sin∠A=，
即
∴DF=
∴S=AE·DF=x=﹣x²+x=﹣（x﹣6）²+，
故當x=6時，S取得最大值，
此時，y=12﹣6=6，即AE=AD．
因此，△ADE是等腰三角形．