Question

如圖，平面直角坐標系中，直線AB解析式為：y=x+．直線與x軸，y軸分別交于A、B兩點．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）若點C是AB的中點，過點C作CD⊥x軸于點D，E，F分別為BC，OD的中點，求點E的坐標；
（3）在第一象限內是否存在點P，使得以P，O，B為頂點的三角形與△OBA相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線解析式與坐標軸的交點求出A、B兩點的坐標；
（2）利用：△ACD∽△ABO求出AD、CD，再根據EF是梯形OBCD的中位線求出EF的長進而求出E點坐標；
（3）先確定△OPB的直角所在的定點然后分情況討論進行分析和排除．
解答：解：（1）將y=0代入解得x=3，即A點坐標為（3，0）
將x=0代入解得y=，即B點坐標為（0，）；

（2）證得：△ACD∽△ABO CD=BO=，AD=OD=AO=
∵E，F分別為BC，OD的中點，CD∥BO
∴EF=（BO+CD）=（+）=OF=OD=
∴E（，） …5分

（3）當∠OBP=90°時，如圖①若△BOP∽△OBA，則∠BOP=∠BAO=30°，BP=OB=3，∴P₁（3，）．
②若△BPO∽△OBA，則∠BPO=∠BAO=30°，OP=OB=1．
∴P₂（1，）．
當∠OPB=90°時③過點P作OP⊥BC于點P（如圖②），此時△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°
過點P作PM⊥OA于點M．
方法一：在Rt△PBO中，BP=OB=，OP=BP=．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=OP=；PM=OM=．
∴（，）．
方法二：設P（x，x+），得OM=x，PM=x+，由∠BOP=∠BAO，得∠POM=∠ABO．
∵tan∠POM==tan∠ABO==．
∴x+=x，解得x=．此時，（，）．
④若△POB∽△OBA（如圖③），則∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°．
∴PM=OM=．
∴P₄（，）（由對稱性也可得到點P₄的坐標）．
當∠OPB=90°時，點P在x軸上，不符合要求．
綜合得，符合條件的點有四個，分別是：P₁（3，），P₂（1，），P₃（，），P₄（，）． …做出一種情況1分
點評：本題重點考查了一次函數和相似三角形性質相結合的問題，是典型的數形結合的題目．