Question

（2011•武漢模擬）小雅同學在學習圓的基本性質時發現了一個結論：如圖，⊙O中，OM⊥弦AB于點M，ON⊥弦CD于點N，若OM=ON，則AB=CD．
（1）請幫小雅證明這個結論；
（2）運用以上結論解決問題：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O為△ABC的內心，以O為圓心，OB為半徑的O D與△ABC三邊分別相交于點D、E、F、G．若AD=9，CF=2，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）連OA，OC，根據垂徑定理得到AM=

1

2

AB，CN=

1

2

CD，再利用勾股定理得到AM=

OA2-OM2

，CN=

OC2-ON2

，又OA=OC，OM=ON即可得到結論；
（2）分別過O點作△ABC三邊的垂線，垂足分別為點P、M、N，連OA、OC，利用三角形內心的性質得到OP=OM=ON，根據（1）的結論得到DB=BE=GF，再根據垂徑定理得到DP=PB=BM=ME=FN=NG，易證得Rt△OAP≌Rt△OAN，Rt△OCM≌Rt△OCN，可得到AP=AN，CM=CN，則AD=AG=9，CE=CF=2，設BD=x，則AB=9+x，BC=2+x，AC=11+x，根據勾股定理得到關于x的方程，解方程求出x即可得到三角形的周長．

解答：解：（1）連OA，OC，如圖，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=

1

2

AB，CN=

1

2

CD，
在Rt△AOM中，AM=

OA2-OM2

，
在Rt△CON中，CN=

OC2-ON2

，
∵OA=OC，OM=ON，
∴AM=CN，
∴AB=CD；

（2）分別過O點作△ABC三邊的垂線，垂足分別為點P、M、N，連OA、OC，如圖，
∵O為△ABC的內心，
∴OP=OM=ON，
∴DB=BE=GF，
∴DP=PB=BM=ME=FN=NG，
∴Rt△OAP≌Rt△OAN，Rt△OCM≌Rt△OCN，
∴AP=AN，CM=CN，
∴AD=AG=9，CE=CF=2，
設BD=x，則AB=9+x，BC=2+x，AC=11+x，
∵AC²=AB²+BC²，
∴（11+x）²=（9+x）²+（2+x）²，
∴x²=36，
∴x=6，
∴△ABC的周長=9+x+2+x+11+x=3x+22=40．

點評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧．也考查了勾股定理以及三角形內心的性質．