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如圖,在直角梯形ABCD中,已知AD∥BC,AB=3,AD=1,BC=6,∠A=∠B=90°.設動點P、Q、R在梯形的邊上,始終構成以P為直角頂點的等腰直角三角形,且△PQR的一邊與梯形ABCD的兩底平行.
(1)當點P在AB邊上時,在圖中畫出一個符合條件的△PQR (不必說明畫法);
(2)當點P在BC邊或CD邊上時,求BP的長.

【答案】分析:(1)根據平行線的性質,就可以畫出一個符合條件的三角形.
(2)分兩種情況進行討論,當P在CD邊上時,由題意,PR∥BC,設PR=x.可證四邊形PRBQ是正方形,由條件證明△CPQ∽△CDE,可以求出PR的值,再解直角三角形就可以求出BP的值;當P在BC邊上,依題意可知RQ∥BC.,過Q作QF⊥BC,易證△BRP≌△FQP,則PB=PF.易證四邊形BFQR是矩形,可以證明△CQF∽△CDE,從而得出結論.
解答:解:(1)如圖△PQR是符合條件的三角形.
 
(2)①當P在CD邊上時,由題意,PR∥BC,設PR=x.可證四邊形PRBQ是正方形,
∴PR=PQ=BQ=x.
過D點作DE∥AB,交BC于E,易證四邊形ABED是矩形.
∴AD=BE=1,AB=DE=3.又 PQ∥DE,
∴△CPQ∽△CDE,∴


∴x=,即BP=
②當P在BC邊上,依題意可知RQ∥BC.
過Q作QF⊥BC,易證△BRP≌△FQP,則PB=PF.
易證四邊形BFQR是矩形,
設BP=x,則BP=BR=QF=PF=x,BF=RQ=2x.
∵QF∥DE,
∴△CQF∽△CDE,


∴x=
點評:本題考查了相似三角形的判定與性質,等腰直角三角形的性質,直角梯形的性質及矩形和正方形的性質的運用.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

20、如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,E為BC邊上的點.將直角梯形ABCD沿對角線BD折疊,使△ABD與△EBD重合(如圖中陰影所示).若∠A=130°,AB=4cm,則梯形ABCD的高CD≈
3.1
cm.(結果精確到0.1cm)

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F點以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運動,E點同時以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運動,設運動時間為t秒(0<t<5).
(1)求證:△ACD∽△BAC;
(2)求DC的長;
(3)設四邊形AFEC的面積為y,求y關于t的函數關系式,并求出y的最小值.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(1998•大連)如圖,在直角梯形ABCD中.AD∥BC,DC⊥BC,且BC=3AD.以梯形的高AE為直徑的⊙O交AB于點F,交CD于點G、H.過點F引⊙O的切線交BC于點N.
(1)求證:BN=EN;
(2)求證:4DH•HC=AB•BF;
(3)設∠GEC=α.若tan∠ABC=2,求作以tanα、cotα為根的一元二次方程.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠ADC=90°,AB=3a,CD=2a,AD=2,點E、F分別是腰AD、BC上的動點,點G在AB上,且四邊形AEFG是矩形.設FG=x,矩形AEFG的面積為y.
(1)求y與x之間的函數關式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)在腰BC上求一點F,使梯形ABCD的面積是矩形AEFG的面積的2倍,并求出此時BF的長;
(3)當∠ABC=60°時,矩形AEFG能否為正方形?若能,求出其邊長;若不能,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,AB=6cm,CD=10cm,AD=5cm,動點P、Q分別從點A、C同時出發,點P以2cm/s的速度向點B移動,點Q以1cm/s的速度向點D移動,當一個動點到達終點時另一個動點也隨之停止運動.
(1)經過幾秒鐘,點P、Q之間的距離為5cm?
(2)連接PD,是否存在某一時刻,使得PD恰好平分∠APQ?若存在,求出此時的移動時間;若不存在,請說明理由.

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