Question

已知：如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長線上的一點，AE⊥DC，交DC的延長線于點E，且AC平分∠EAB．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠ADC=30°，AC=6，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC．欲證明DE是⊙O的切線，只需證明DE⊥OC即可；
（2）在直角三角形ADE中可以求出∠EAD=60°，根據已知條件“AC平分∠EAB”推知∠BAC=30°；又由直徑所對的圓周角是直角可以得到∠ACB=90°；最后在直角三角形ABC中利用三角函數值來求BC的長度．

解答：（1）證明：連接OC，則∠CAO=∠ACO．
∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO．
∴∠EAC=∠ACO．∴AE∥OC．（1分）
∴∠DCO=∠E=90°，即DE⊥OC．
∴DE是⊙O的切線．（2分）

（2）解：∵∠ADC=30°，
∴∠EAD=60°．
∴∠BAC=

1

2

∠EAD=30°（3分）
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°（4分）．
∴BC=AC•tan∠BAC
=6×tan30°
=2

3

（5分）

點評：本題考查了切線的判定與性質、解直角三角形；證明某一線段是圓的切線時，一般情況下是連接切點與圓心，通過證明該半徑垂直于這一線段來判定切線．