Question

如圖（1），在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax²+8ax+16a+6經過點B（0，4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為D，過點D、B作直線交x軸于點A，點C在拋物線的對稱軸上，且C點的縱坐標為-4，連接BC、AC．求證：△ABC是等腰直角三角形；
（3）在（2）的條件下，將直線DB沿y軸向下平移，平移后的直線記為l，直線l 與x軸、y軸分別交于點A′、B′，是否存在直線l，使△A′B′C是直角三角形，若存在求出l的解析式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點B（0，4）代入拋物線y=ax²+8ax+16a+6，求出a的值，拋物線的解析式即可求出；
（2）首先求出拋物線的頂點坐標，進而求出C點坐標，設直線BD解析式為：y=kx+4（k≠0），求出k的值，過點C作CE⊥y軸于點E，證明△CEB≌△BOA（SAS），根據角與角之間的關系求出∠ABC=90°；
（3）存在．①當∠CA′B′=90°時，如圖2所示，根據A′B′∥AB求出∠OA′B′=∠BAO，然后根據邊角關系tan∠ECA′=，進而求出A′坐標，即可求出直線的解析式；②當∠A′CB′=90°時，如圖3所示，過點C作CE⊥y軸于點E，易證△A′FC≌△B′EC，結合①求出B′坐標，即可求出直線解析式．
解答：（1）解：由題意知：16a+6=4
解得：a=
故拋物線的解析式為：，

（2）證明：如圖1，由拋物線的解析式知：頂點D坐標為（-4，6）
∵點C的縱坐標為-4，且在拋物線的對稱軸上，
∴C點坐標為（-4，-4）
設直線BD解析式為：y=kx+4（k≠0）
有：6=-4k+4，
解得
∴BD解析式為
∴直線BD與x軸的交點A的坐標為（8，0）
過點C作CE⊥y軸于點E，則CE=4，BE=8
又∵OB=4，OA=8，
在△CEB和△BOA中，
∵，
∴△CEB≌△BOA（SAS），
∴CB=AB，∠1=∠2
∵∠2+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°
∴∠1+∠3=90°，即∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形，

（3）存在．
①當∠CA′B′=90°時，如圖2所示，
∵A′B′∥AB，
∴∠OA′B′=∠BAO，
又∵∠EA′C+∠ECA′=90°，
∠OA′B′+∠EA′C=90°，
∴∠BAO=∠OA′B′，
∴∠ECA′=∠BAO，
∵tan∠BAO=
∴tan∠ECA′=
∴EA′=2，A′O=2，
∴A′坐標為（-2，0），
B′坐標為（0，-1），
∴直線l解析式為，
②當∠A′CB′=90°時，如圖3所示，
過點C作CE⊥y軸于點E，
利用△ABC是等腰直角三角形，
∵∠A′CF+∠FCB′=90°，
∠B′CE+∠FCB′=90°，
∴∠B′CE=∠A′CF，
在△A′FC和△B′EC中，
∵，
∴△A′FC≌△B′EC（AAS），
則A′F=B′E
由①tan∠B′A′O=
設B′坐標為（0，n）
則有
解得
B′坐標為（0，），
故直線l解析式為．
點評：本題主要考查了二次函數的綜合題的知識，解答本題的關鍵熟練掌握二次函數的性質，特別是（3）問需要分類討論，此問很容易出現漏解，此題難度較大．