Question

拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于點A(－1，0)，B(3，0)．

(1)求出一個符合上述條件的拋物線的解析式；

(2)若拋物線與y軸交于點C(0，)，點E(x，y)是拋物線上位于x軸上方的一個動點，四邊形OEBF是以OB為對角線的平行四邊形．

①求□OEBF的面積S與x之間的函數關系式，當□OEBF的面積為時，求點E的坐標，并判斷此時四邊形OEBF是否為菱形？

②是否存在點E，使四邊形OEBF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知可得拋物線的對稱軸為x＝1． 　　設拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋h．將(－1，0)代入，得4a＋h＝0． 　　取a＝－1，h＝4得y＝－(x－1)2＋4，即為符合條件的解析式． 　　注意：答案不唯一，正確即可． 　　(2)①將C(0，)代入y＝a(x－1)2＋h，得a＋h＝． 　　由(1)知4a＋h＝0，解得a＝－，h＝2． 　　拋物線的解析式為：y＝－(x－1)2＋2． 　　因為點E(x，y)是拋物線上位于x軸上方的點， 　　所以y＞0，y即為點E到x軸的距離． 　　又因為OB是□OEBF的對角線， 　　所以S＝2S△OEB＝2××OB×y＝－(x－1)2＋6． 　　因為拋物線與x軸交于點A(－1，0)，B(3，0)， 　　所以自變量x的取值范圍是－1＜x＜3． 　　所以S與x之間的函數關系式為S＝－(x－1)2＋6(－1＜x＜3)． 　　當S＝時，有－(x－1)2＋6＝． 　　解得x1＝，x2＝． 　　故所求的點E有兩個， 　　分別為E1(，)，E2(，)， 　　點E1不滿足OE＝BE，此時，□OEBF不是菱形， 　　點E2滿足OE＝BE，此時，□OEBF是菱形． 　　②當OB⊥EF，且OB＝EF時，□OEBF是正方形，此時點E的坐標只能是(，)． 　　但坐標為(，)的點不在拋物線上，故不存在這樣的點E使□OEBF為正方形．