Question

（2008•石景山區一模）平面直角坐標系中有一張矩形紙片OABC，O為坐標原點，A點坐標為（10，0），C點坐標為（0，6），D是BC邊上的動點（與點B、C不重合）．如圖②，將△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB邊上選取適當的點E，將△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直線DG，DF重合．
（1）圖①中，若△COD翻折后點F落在OA邊上，求直線DE的解析式；
（2）設（1）中所求直線DE與x軸交于點M，請你猜想過點M、C且關于y軸對稱的拋物線與直線DE的公共點的個數，在圖①的圖形中，通過計算驗證你的猜想；
（3）圖②中，設E（10，b），求b的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于折疊前后三角形全等，可得出D、E兩點坐標，可求直線DE解析式；
（2）由于拋物線過點C（0，6），對稱軸是y軸，可設拋物線解析式y=ax²+6，由y=-x+12：得M（12，0），將M點代入拋物線解析式可確定解析式，聯立直線與拋物線解析式可得唯一點坐標；
（3）由折疊性質可證△COD∽△BDE，得出相似比，設CD=a，∵AE=b，∴DB=10-a，BE=6-b，可得出a與b的二次函數關系式，用二次函數性質解答本題．
解答：解：
（1）已知A（10，0），C（0，6），由折疊可知D（6，6），E（10，2），
設直線DE解析式：y=kx+b，則，
解得
∴直線DE的解析式為：y=-x+12；

（2）過點M、C且關于y軸對稱的拋物線與直線DE的公共點只有一個；
設拋物線解析式y=ax²+6，
由y=-x+12：得M（12，0），
把M（12，0）代入拋物線解析式得a=-，
聯立
得x₁=x₂=12；
故公共點唯一，是（12，0）；

（3）設CD=a，∵AE=b，
∴DB=10-a，BE=6-b，由折疊可知∠CDF=2∠CDO，∠BDG=2∠BDE，而∠CDF+∠BDG=180°，
∴2∠CDO+2∠BDE=180°，∠CDO+∠BDE=90°，
又∵∠CDO+∠COD=90°
∴∠COD=∠BDE
∴△COD∽△BDE
∴=即=
解得b=a²-a+6=（a-5）²+；
故當a=5時，b的最小值是．
點評：本題考查了坐標系里的軸對稱問題，運用軸對稱的性質求點的坐標及函數解析式，會用全等，相似的知識解答有關問題．