Question

閱讀：我們規定[p，q]為一次函數y=px+q的特征數．
（1）若特征數是[2，k-2]的一次函數為正比例函數，求k的值；
（2）設點A，B分別為拋物線y=（x+m）（x-2）與x軸、y軸的交點，其中m＞0，且△OAB的面積為4，O為坐標原點，求圖象過A、B兩點的一次函數的特征數．
（3）設點P（m₁，n₁），Q（m₂，n₂）是拋物線y=（x+m）（x-2）上兩個不同的點，且關于此拋物線的對稱軸對稱，請直接寫出m₁+m₂的值．

Answer 1

分析：（1）根據材料的相關知識，先表示出特征數所表示的一次函數解析式，由于該函數是正比例函數，那么常數項為0，可據此求出k的值；
（2）根據拋物線的解析式可得出A、B的坐標（需注意A點的坐標有兩種情況），根據△OAB的面積即可求出m的值，進而可確定A點的坐標，由待定系數法即可求出直線AB的解析式，根據閱讀材料的相關知識即可求得圖象過A、B的一次函數的特征數；
（3）在（2）中已求得m=2，那么拋物線的對稱軸為y軸，若P、Q關于y軸對稱，那么P、Q的橫坐標互為相反數，由此可得m₁+m₂=0．

解答：解：（1）∵特征數為[2，k-2]的一次函數為y=2x+k-2，
∴k-2=0，
∴k=2；（2分）
（2）∵拋物線與x軸的交點為A₁（-m，0），A₂（2，0），
∴與y軸的交點為B（0，-2m）；
若S_△OBA1=4，則

1

2

×m×2m=4，
∴m₁=2，m₂=-2（舍）；
若S_△OBA2=4，則

1

2

×2×2m=4，
∴m=2；
綜上，m=2；
∴拋物線為y=（x+2）（x-2），它與x軸的交點為（-2，0），（2，0），與y軸的交點為（0，-4），
∴所求一次函數為y=-2x-4或y=2x-4，
∴特征數為[-2，-4]或[2，-4]．（6分）
（3）m₁+m₂=0．（8分）

點評：此題是二次函數的綜合類試題，涉及到一次函數解析式的確定、圖形面積的求法、二次函數解析式的確定等知識，讀懂材料的含義是解答此題的關鍵．