Question

如圖，在邊長為m的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD上不同于A，D兩點的一動點，F是CD上一動點，且AE+CF=m．
（1）證明：無論E，F怎樣移動，△BEF總是等邊三角形；
（2）求△BEF面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）連接BD，得到△ABD是等邊三角形，又AE+CF=m，所以AE=DF，利用邊角邊可以證明△ABE、△DBF全等．
（2）邊長最小面積就最小，當BE⊥AD時邊長最小，利用勾股定理求出BE及△BEF的高，則其面積就不難得到了．

解答：解：（1）連接BD，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AB=DB，
又∵AE+CF=m，
∴AE=DF，
在△ABE和△DBF中

AB=DB ∠A=∠BDF=60° AE=DF

，
∴△ABE≌△DBF（SAS），
∴BE=BF∴∠EBF=∠ABD=60°，
∴△BEF是等邊三角形．

（2）當BE⊥AD時面積最小，此時BE=

m2-( 1 2 m)2

=

3

2

m，
△BEF的EF邊上的高=

( 3 2 m)2-( 3 4 m)2

=

3

4

m，
S_△BEF=

1

2

×

3

2

m×

3

4

m=

3

16

3

m²．

點評：作輔助線構造出等邊三角形和全等三角形，結合菱形的性質和等邊三角形的性質求解．