Question

【題目】如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，則下列結論：①PM=PN；②；③△PMN為等邊三角形；④當∠ABC=45°時，BN=PC．其中正確的個數是（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

Answer 1

【答案】D.

【解析】

試題解析：①∵BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，

∴PM=BC，PN=BC，

∴PM=PN，正確；

②在△ABM與△ACN中，

∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，

∴△ABM∽△ACN，

∴，正確；

③∵∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，

∴∠ABM=∠ACN=30°，

在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°-60°-30°×2=60°，

∵點P是BC的中點，BM⊥AC，CN⊥AB，

∴PM=PN=PB=PC，

∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，

∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，

∴∠MPN=60°，

∴△PMN是等邊三角形，正確；

④當∠ABC=45°時，∵CN⊥AB于點N，

∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，

∴BN=CN，

∵P為BC邊的中點，

∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形

∴BN=PB=PC，正確．

故選D．