Question

如圖，已知：AC是⊙O的直徑，PA⊥AC，連接OP，弦CB∥OP，直線PB交直線AC于D，BD=2PA．
（1）證明：直線PB是⊙O的切線；
（2）探究線段PO與線段BC之間的數量關系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）連接OB．欲證明直線PB是⊙O的切線，只需證明OB⊥PB即可；
（2）根據（1）中全等三角形（△POB≌△POA）的對應邊相等推知PB=PA，由已知條件“BD=2PA”、等量代換可以求得BD=2PB；然后由相似三角形（△DBC∽△DPO）的對應邊成比例可以求得

BC

PO

=

BD

PD

=

2

3

，從而解得2PO=3BC．

解答：（1）證明：連接OB．
∵BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB．（2分）
又∵OC=OB，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠POB=∠POA．（3分）
又∵PO=PO，OB=OA，
∴△POB≌△POA，（4分）
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB是⊙O的切線（5分）

（2）2PO=3BC（寫PO=

3

2

BC亦可）．（5分）
證明：∵△POB≌△POA，
∴PB=PA．
∵BD=2PA，
∴BD=2PB．
∵BC∥PO，
∴△DBC∽△DPO．（8分）
∴

BC

PO

=

BD

PD

=

2

3

（相似三角形的對應邊成比例），
∴2PO=3BC．（10分）
注：開始沒有寫出判斷結論，證明正確也給滿分、

點評：本題考查了切線的判定與性質．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．