Question

【題目】如圖，已知直線經過點，交x軸于點A，y軸于點B，F為線段AB的中點，動點C從原點出發，以每秒1個位長度的速度沿y軸正方向運動，連接FC，過點F作直線FC的垂線交x軸于點D，設點C的運動時間為t秒．

當時，求證：；

連接CD，若的面積為S，求出S與t的函數關系式；

在運動過程中，直線CF交x軸的負半軸于點G，是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）連接OF，根據“直線經過點”可得k=1，進而求出A（﹣4,0），B（0,4），得出△AOB是等腰直角三角形，得出∠CBF=45°，得出OF= AB=BF，OF⊥AB，得出∠OFD=∠BFC，證得△BCF≌△ODF，即可得出結論

（2）①根據全等三角形的性質可得出0＜t＜4時，BC=OD=t﹣4，再根據勾股定理得出CD2=2t2-8t+16，證得△FDC是等腰直角三角形，得出，即可得出結果；

②同理當t≥4時，得出BC＝OD＝t﹣4，由勾股定理得出CD2＝OD2+OC2＝2t2﹣8t+16，證出△FDC是等腰直角三角形，得出FC2CD2，即可得出結果；

（3）由待定系數法求出直線CF的解析式，當y＝0時，可得出G,因此OG，求出即可．

證明：連接OF，如圖1所示：

直線經過點，

，解得：，

直線，

當時，；當時，；

，，

，

，

是等腰直角三角形，

，

為線段AB的中點，

，，，

，

，

，

，

在和中，，

≌，

；

解：當時，連接OF，如圖2所示：

由題意得：，，

由得：≌，

，

，

，，

是等腰直角三角形，

，

的面積；

當時，連接OF，如圖3所示：

由題意得：，，

由得：≌，

，

，

，，

是等腰直角三角形，

，

的面積；

綜上所述，S與t的函數關系式為；

解：為定值；理由如下：

當時，如圖4所示：

當設直線CF的解析式為，

，，F為線段AB的中點，

，

把點代入得：，

解得：，

直線CF的解析式為，

當時，，

，

，

；

當時，如圖5所示：

同得：；

綜上所述，為定值．