Question

【題目】如圖，一次函數的圖象與雙曲線相交于A(-1，2)和B(2，b)兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D.

(1)求一次函數的解析式；

(2)根據圖象直接寫出不等式的解集；

(3)經研究發現：在y軸負半軸上存在若干個點P，使得為等腰三角形。請直接寫出P點所有可能的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y1＝-x+1；（2）-1≤x＜0或x≥2；（3）(0，-1)，(0，1-)，(0，-3)．

【解析】

(1)將A，B坐標代入反比例函數解析式求出k，b的值，再將A，B點代入一次函數解析式可求解；

(2)由A與B交點橫坐標，根據函數圖象確定出所求不等式的解集即可；

(3)根據等腰三角形的性質分PC=PB，PC=BC，PB=BC求解即可.

解：(1)∵A(-1，2)和B(2，b)在雙曲線(k≠0)上，

∴k＝-1×2＝2b，

解得b＝-1．

∴B(2，-1)．

∵A(-1，2)和B(2，-1)在直線y1＝mx+n(m≠0)上，

∴，

解得，

∴y1＝-x+1；

(2)由圖象可知：-1≤x＜0或x≥2是不等式的解集；

(3)由（1）y1＝-x+1可知C點的坐標為（0，1）

B(2，-1)

∴BC=

要使得為等腰三角形

∴PC=PB或PC=BC或PB=BC

當P1C= P1B時，設P1（0，y1），如下圖

B(2，-1)

則P1B=2

∴P1C= P1B=2

又C（0，1），P1C=O P1+OC

∴O P1=1,即y1=-1

P1（0，-1）；

當P2C=BC時，設P2（0，y2），如下圖

BC=

∴P2C=BC=

又C（0，1），P2C=O P2+OC

∴O P2=-1,即y2=1-

P2（0， 1-）；

當P3B=BC時，設P3（0，y3），如下圖

BC=

∴P3C=BC=

∴CP3= =4

又C（0，1），P3C=O P3+OC

∴O P3=4-1=3,即y3=-3

P3（0， -3）.

綜上所述滿足要求的P點坐標為：(0，-1)，(0，1-)，(0，-3)．