Question

（2008•大連）如圖，△ABC的高AD為3，BC為4，直線EF∥BC，交線段AB于E，交線段AC于F，交AD于G，以EF為斜邊作等腰直角三角形PEF（點P與點A在直線EF的異側），設EF為x，△PEF與四邊形BCEF重合部分的面積為y．
（1）求線段AG（用x表示）；
（2）求y與x的函數關系式，并求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖和已知條件知，△AEF∽△ABC從而得AG表達式，分兩種情況當點P在四邊形BCFE的內部或BC邊上時易得PH=x的關系；
（2）當點P在四邊形BCFE的外部時，過點P作PH⊥EF易得PH=，從而推出△PMN∽△PEF根據比例關系推出△PMN為等腰三角形，把△PMN用x表示出來，最后根據邊長關系求出x的取值范圍．
解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴．

（2）當點P在四邊形BCFE的內部或BC邊上時，如圖1過點P作PH⊥EF于H，
∵等腰直角三角形PEF，
∴PH=，
∴y=．
∵PH≤DG，．
當點P在四邊形BCFE的外部時，如圖2，
過點P作PH⊥EF于H，交MN于K，同理得PH=，
∵EF∥BC，
∴∠KHG=∠HKD=90°，
∴四邊形HGDK為矩形，
∴HK=DG=3-，
∴PK=，
∵EF∥BC，
∴△PMN∽△PEF，
∴，
∴△PMN為等腰直角三角形．
∴S_△PMN=MN×PK=PK²=，
∴，
∵PH＞DG，

∴．
點評：此題多次用到三角形相似的性質，這也是平面幾何題通常用的方法，作輔助線找三角形相似，把幾何關系用函數表示出來，并求出定義域，是很好的題型．