Question

【題目】如圖Ⅰ，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，則不難證明S1=S2＋S3．

（1）如圖Ⅱ，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1、S2、S3表示，設BC=a，AC=b，AB=c，請你確定S1、S2、S3之間的關系并證明．

（2）如圖Ⅲ，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你確定S1、S2、S3之間的關系．（不必證明）

（3）若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正多邊形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你猜想S1、S2、S3之間的關系？（不必證明）

Answer 1

【答案】（1）（1）S1=S2+S3，證明見解析；

（2）S1=S2+S3；

（3）S1=S2+S3

【解析】試題分析：（1）從圖1的規律可得S1=S2+S3；

（2）根據勾股定理求得等邊三角形的高，再求出面積，可得S1=S2+S3；

（3）根據兩相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得， ，∴，∴S1=S2+S3．

試題解析：（1）設Rt△ABC三邊BC，CA，AB的長分別為a，b，c，則c2=a2+b2．

∴S1=S2+S3

（2）S1=S2+S3，證明如下：

顯然S1=c2，S2=a2，S3=b2，

∴S2+S3=（a2+b2）=c2=S1．

（3）當所作的三個三角形相似時，S1=S2+S3．

∵所作三個三角形相似．

∴， ，

∴，

∴S1=S2+S3．

即凡是向△ABC外做相似多邊形，S1=S2+S3．